Verifica di deformabilità di membrature in c.a.: analisi ed applicazione critica del metodo proposto dalle NTC 2018

Argomento: Verifica di deformabilità di travi e solette in c.a.
Autore: Andrea Bidoli
Contatto: supporto@csi-italia.eu

Metodo indiretto proposto dalle NTC 2018 – Analisi critica

Relativamente alla limitazione delle frecce verticali di travi e solai, le NTC2018 offrono la possibilità di adottare un approccio indiretto semplificato, basato sulla limitazione del rapporto luce/altezza attraverso l’equazione [C4.1.4] presentata nel § C4.1.2.2.2:

\( \cfrac{l}{h}\leq K \cdot \left[ 11 + \cfrac{0.015 \cdot f_{ck}}{\rho + \rho’} \right] \cdot \left[ \cfrac{500 \cdot A_{s,eff}}{f_{yk} \cdot A_{s,calc}} \right] \)

i cui parametrti sono definiti all’interno dello stesso paragrafo come:

“…\( f_{ck} \) e \( f_{yk} \) sono espressi in MPa, \( \rho \) e \( \rho’ \) sono i rapporti di armatura tesa e compressa, rispettivamente, \( A_{s,eff} \) ed \( A_{s,calc} \) sono, rispettivamente, l’armatura tesa effettivamente presente nella sezione più sollecitata e l’armatura di progetto nella stessa sezione, e \( K \) è un coefficiente correttivo che dipende dallo schema strutturale.”

Occorre subito evidenziare che la precedente formula e la relativa descrizione presentano due importanti refusi. Il primo riguarda direttamente la formula e, in particolare, la costante 0.015. Il valore corretto da utilizzare per tale costante è in realtà 0.0015 e questo può essere facilmente dimostrato cercando di riprodurre i risultati numerici riportati in tabella C4.1.I. Consideriamo, ad esempio, il valore limite del rapporto luce altezza di una trave in semplice appoggio in condizioni di calcestruzzo poco sollecitato sotto le ipotesi della tabella C4.1.I, che sappiamo valere 20. Eseguendo il calcolo con la formula riportata in normativa si ottiene invece:

\( \cfrac{l}{h}\leq 1 \cdot \left[ 11 + \cfrac{0.015 \cdot 30}{0.005} \right] \cdot \left[ 1 \right] = 101 \)

Mentre assumendo il valore 0.0015 si ottiene correttamente:

\( \cfrac{l}{h}\leq 1 \cdot \left[ 11 + \cfrac{0.0015 \cdot 30}{0.005} \right] \cdot \left[ 1 \right] = 20 \)

Il secondo refuso è meno evidente, ma non meno rilevante, e riguarda il significato dei termini \( ρ \) e \( ρ’ \) definiti genericamente come i rapporti di armatura tesa e compressa. Ad una prima analisi dunque, sembrerebbe che gli stessi rappresentino semplicemente le armature tese e compresse presenti nella sezione più sollecitata. Questa interpretazione può tuttavia essere immediatamente smentita attraverso un semplice controesempio: immaginiamo di avere due travi di uguale sezione rettangolare, in semplice appoggio e soggette ai medesimi carichi. Una delle due travi è armata con sola armatura inferiore, mentre l’altra presenta la stessa armatura inferiore più un’armatura superiore di uguale entità. L’applicazione della [C4.1.4] secondo tale interpretazione, darebbe luogo ad un limite del rapporto luce altezza ammissibile inferiore per la trave avente doppia armatura, il che rappresenta un evidente assurdo fisico. L’aggiunta di armatura superiore comporta infatti il doppio beneficio di ridurre la compressione sul calcestruzzo e la trazione sulle barre inferiori.

Per comprendere il vero significato dei termini \( ρ \) e \( ρ’ \) occorre far riferimento all’analoga formulazione presente al § 7.4.2(2) dell’EC2:2005, in cui tali termini vengono correttamente definiti come:

“\( ρ \) è il rapporto di armatura tesa richiesta in mezzeria per resistere al momento indotto dai carichi di progetto (all’incastro per mensole)

\( ρ’ \) è il rapporto di armatura compressa richiesta in mezzeria per resistere al momento indotto dai carichi di progetto (all’incastro per mensole)”

Questa precisazione fornisce un significato decisamente più coerente all’equazione di verifica, correlando il valore limite del rapporto luce altezza allo stato di sollecitazione dell’elemento: più la quantità di armatura richiesta allo SLU è elevata, più è plausibile che le deformazioni eccedano i limiti di funzionalità richiesti allo SLE.

In realtà l’espressione completa dell’equazione di verifica è più complessa di quella riportata in normativa, poiché vanno incluse le ulteriori eventuali penalizzazioni per travi a T ed elementi di grande luce descritte nel proseguo del § C4.1.2.2.2. Nel caso generale possiamo dunque scrivere:

\( \cfrac{l}{h}\leq K \cdot K_{\sigma} \cdot K_{L} \cdot K_{F} \cdot \left( \cfrac{l}{h} \right)_{0} \)

in cui

\( \left( \cfrac{l}{h} \right)_{0} = 11 + \cfrac{0.0015 \cdot f_{ck}}{\rho + \rho’} \)	è il valore di base del rapporto luce altezza di riferimento
\( K \)	è un coefficiente correttivo che include l’effetto dello schema statico ed è definito in tabella C4.1.I
\( K_{\sigma} = \cfrac{500 \cdot A_{s,eff}}{f_{yk} \cdot A_{s,calc}} \)	è un coefficiente correttivo che include l’influenza dello stato di sollecitazione nelle armature
\( K_{L} \leq 1 \)	è un coefficiente correttivo che include l’influenza della lunghezza dell’elemento e vale \( 7/L \) nel caso di travi e piastre nervate e \( 8.5/L \) nel caso di piastre non nervate
\( K_{F} \leq 1 \)	è un coefficiente correttivo che include l’effetto di elementi con flange molto larghe e viene calcolato secondo l’equazione \( K_{F} = 1.1 – 0.1 \cdot b_{f} / b_{w} \)

 

Applicazione del metodo indiretto e confronto con un’analisi non lineare in regime fessurato

Al fine di valutare l’attendibilità della procedura indiretta proposta dalle NTC, la stessa è stata applicata ad un caso studio reale e confrontata con i risultati di un’analisi non lineare in regime fessurato (nonlinear cracked analysis). La procedura di verifica secondo il metodo indiretto è stata condotta attraverso il software VIS, mentre per l’analisi non lineare è sato impiegato il software SAFE.

Il caso studio è composto da una trave continua su tre campate da 5 metri avente sezione rettangolare di dimensioni pari a 60×24 cm e calcestruzzo classe C25/30. I carichi applicati sono:

G1 = pp + 15 kN/m
G2 = 7.5 kN/m
Q = 10 kN/m

Nella verifica secondo l’approccio tradizionale sono state considerate tutte le possibili permutazioni dei carichi G2 e Q sulle tre campate mentre, nell’analisi non lineare, è stata considerata la sola distribuzione più gravosa, con i carichi non strutturali e variabili applicati alle sole campate laterali.
Le armature utilizzate in verifica sono state ottenute ottimizzando le sezioni in modo che le verifiche di resistenza allo SLU risultassero soddisfatte, ma senza effettuare alcuna considerazione nei riguardi degli SLE. Il layout risultante è riportato nella figura sottostante.

Figura 1: layout di armatura risultante allo SLU calcolato con il software VIS

Eseguendo anche le verifiche agli SLE utilizzando la medesima distribuzione di armature, si nota come la verifica di deformabilità non risulti soddisfatta nelle due campate di estremità della trave.

Figura 2: inviluppo verifiche calcolato con il software VIS

Lo stesso layout è stato quindi riprodotto all’interno del software SAFE al fine di eseguire un’analisi non lineare in regime fessurato. Il modello reologico di riferimento assunto per il calcestruzzo è quello proposto nell’EC2:2004, considerando una classe cementizia R e un’umidità ambientale relativa del 50%. I carichi sono stati considerati applicati dopo un periodo di maturazione di 28 giorni. Il limite di deformabilità ammissibile per la combinazione quasi permanente dei carichi è stato assunto, in accordo alle indicazioni normative, pari a L/250.

I risultati ottenuti, riportati nella figura sottostante, sono in perfetto accordo con quelli corrispondenti a metodo indiretto, confermandone la validità nei casi di applicazione comune.

 

Figura 3: freccia a lungo termine calcolata mediante analisi non lineare in regime fessurato all’interno del software SAFE

Riferimenti bibliografici

1. Decreto Ministeriale 17 Gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni.
2. Circolare applicativa – 21 Gennaio 2019 n.7 C.S.LL.PP.
3. COMITÉ EUROPÉEN DE NORMALISATION – EN 1992-1-1:2004. Brussels, 2004.