SAP2000 – Analisi dinamica non lineare per carichi impulsivi

Argomento: Analisi dinamica non lineare per carichi impulsivi
Autore: Leonardo Bandini
Contatto: supporto@csi-italia.eu

Introduzione

Spesso, spiegando l’effetto del secondo ordine, nei confronti delle non linearità geometriche indotte dai grandi spostamenti, si riporta l’esempio del telo teso a sostegno di un corpo in caduta libera. Il telo, a livello computazionale una membrana, per forma e per trazione, acquista la capacità di sorreggere un carico ortogonale ad esso, capacità che al primo ordine ed in assenza di una forma di “catenaria” non avrebbe. Questo esempio ha molteplici scopi: testare le capacità non lineari indotte dal materiale di una shell layered, analizzare un problema a non linearità geometrica ed utilizzare un processo di analisi dinamica non lineare per la risoluzione di un problema a carichi impulsivi. 

Analizziamo gli step necessari dalla costruzione del modello all’esecuzione delle analisi. 

 

Utilizzo di materiali a comportamento non lineare e loro definizione

Il telo in questione sarà investito da un corpo (considerato indeformabile) di una certa massa che cade da una certa altezza (caduta libera). Come ulteriore scopo, si è voluto investigare un materiale innovativo, utilizzato solitamente per tensostrutture, che abbia una buona capacità deformativa e nel contempo una buona capacità dissipativa indotta dalla plasticizzazione di esso. Investigando tra i diversi materiali, utilizzabili a tale scopo, l’attenzione si è sposta su una maglia di fili di poliestere intrecciati, immersi in una matrice di PVC. Si possono trovare diversi riferimenti, in particolare in questo articolo si evidenziano gli aspetti tecnologici per la sua realizzazione, i cicli di carico dinamico del materiale e gli aspetti di montaggio (riferimento esterno:  PVC–coated polyester fabrics, link1, link2). Tale maglia è costituita da un reticolo di “fili” di poliestere intrecciati, quindi la sua capacità biassiale, di resistere al carico di trazione è ben rappresentabile attraverso una shell layered/nonlinear, di un materiale uniassiale definito da un legame tensione-deformazione. Ma andiamo per ordine. 

La definizione del materiale risulta pertanto la seguente:

dove è possibile vedere la definizione di un materiale di tipo Uniaxial, la cui definizione in termini di curva di tensione deformazione è la seguente:

Si noti, oltre ai punti che definiscono la legge tensione-deformazione, anche la scelta di un comportamento isteretico di tipo ad Incrudimento Cinematico (Kynematic Hardening). 

Shell Layered/Nonlinear

Vista la definizione dell’elemento strutturale in questione e la sua composizione, l’elemento finito che si sceglie di utilizzare per la sua modellazione è un elemento shell di tipo Layered/Nonlinear. Questo elemento è molto versatile, consente di caratterizzare elementi bidimensionali non lineari molto diversi tra di loro: piastre metalliche (con accoppiamento tensionale secondo la plasticità di Von-Mises), elementi in c.a. (con non linearità indotte sia dal cls che dalle armature), muratura, legno, ecc… A tale scopo di modellazione si è scelto di definire due layer uniassiali sovrapposti nelle due direzione: la definizione naturale vista la composizione a cui si è accennato precedentemente.

Questa la definizione: 

Si noti l’utilizzo di due layer sovrapposti con fibre ortogonali (0, 90°) costituite da materiale uniaxial. Questa scelta definisce un comportamento non lineare sull’asse 1 e 2 dell’elemento, fissando il comportamento di tale elemento finito come una membrana che resista solo a sforzi di tensione sul proprio piano e l’assenza di una resistenza ad un taglio nel piano (s12). 

Sarà l’analisi, che verrà condotta secondo la teoria del secondo ordine: Large Displacement e PDelta, a far perdere la rigidezza alla membrana se soggetta a carico di compressione, limitandone in altre parole ad un comportamento a solo stato membranale di trazione (tension only membrane).  

Definizione geometrica di partenza e costruzione del modello

La definizione geometrica, di partenza (condizione indeformata) è stata costruita mediante il template Pipes and Plates integrato.

Si è poi proceduto alla costruzione del corpo rigido ed alla connessione tra i due oggetti mediante l’utilizzo di semplici gap, la cui apertura è fissata pari all’altezza di caduta (fissata a 2700mm). Si riportano le definizioni chiave del modello e degli elementi e vincoli utilizzati.

Nei nodi del corpo rigido, si è disposta massa ed i seguenti vincoli: body UX, UY ed equal UZ

 

Ricerca della forma

Il problema analitico, come abbiamo detto presenta una non linearità geometrica in grandi spostamenti e PDelta, questo implica la necessità di introdurre una imperfezione iniziale (deformazione del telo secondo una catenaria). A tale scopo si è utilizzato lo strumento integrato dentro SAP2000 che consente di deformare una struttura di partenza con una forma qualsiasi. Si è definita una semplice analisi modale, bloccando temporaneamente il corpo rigido ed il telo, in direzione UZ. Poi si è fissata la geometria derivante dal primo modo, imponendo una deformazione iniziale di D/125 con D il diametro del telo. 

Questo passaggio è fondamentale, si ricorda che la membrana sarebbe labile per azioni fuori piano al primo ordine, ma al secondo ordine, per effetto dell’imperfezione iniziale acquista rigidezza per forma. 

A questo punto si è voluto introdurre un precarico iniziale, supponendo di mettere in trazione i supporti (semplici frame in acciaio, presenza di trefoli di coronamento e di attacco radiale) soggetti ad una deformazione inziale (strain or equivalent thermal load).

Analisi

Secondo la definizione del problema che si è voluto descrivere, sono necessarie due analisi non lineari, messe in sequenza. La prima analisi rappresenta la messa in trazione del telo, sarà effettuata mediante un’analisi statica non lineare per materiale e forma (Pdelta e Large displacement). La seconda analisi sarà l’analisi Time History non lineare che rappresenterà la caduta e l’impatto del corpo sul telo.

L’analisi statica non lineare sarà condotta a controllo di forza (Full Load) ed ha il compito di trovare la forma di partenza della tensostruttura. 

La seconda analisi, quella TimeHistory, partirà dalla fine della prima, ereditando forma (e conseguente matrice di rigidezza) e carichi dall’analisi precedente. Essa è svolta con il metodo HHT, imponendo un coefficiente alfa di -0.3 per invogliare la convergenza (durante l’impatto). Vista la natura impulsiva del carico e della risposta, si è scelto un passo d’integrazione di 1/1000 sec, per riuscire a cogliere anche la dinamica delle alte frequenze. Allo stesso scopo si è integrato utilizzando uno smorzamento viscoso lineare equivalente, basso ma diverso da zero, utilizzando uno smorzamento alla Rayleigh). Ecco le definizioni dell’analisi. 

Dove si è applicato il carico indotto dall’accelerazione di gravità, ovviamente costante nel tempo.

Si trascura la resistenza dell’aria.

Risultati

Vista la natura impulsiva del problema sono stati fatti tutti i controlli del caso, alcuni dei quali ricavabili facilmente con formulazioni semplici e note. 

Stima del tempo di impatto: tf = (2h/g)^0.5

Velocità di impatto, energia cinetica all’impatto, stima della forza attesa… 

Storia temporale delle deformazioni:

Tensioni sulla membrana:

Storia temporale delle tensioni sulla zona di impatto: 

Si noti la completa corrispondenza con la Back-Bone impostata sul materiale anche per un problema dinamico impulsivo!

Caso di collasso della membrana (vedere video sottostante):

Si noti la completa rottura della fibra.

Conclusioni

La natura impulsiva del problema e le non linearità geometriche e di materiale che si voleva riprodurre hanno imposto l’utilizzo di un processo analitico per integrazione diretta delle equazioni di moto. Nonostante la complessità delle non linearità definite, la computazione ha richiesto circa 10′. 

In questa animazione si vuole riportare la sintesi di tutta la modellazione fatta e dei risultati ottenuti.

La stessa procedura può essere utilizzata per Blast Analysis, progressive collapse, dinamica non lineare nelle alte frequenze…